PUEBLOS ANTIGUOS

En un principio el hombre necesitaba comunicarse con su medio y ese afán lo llevó a desarrollar simbologías que permitían, además de expresar sus pensamientos, consolidar su crecimiento intelectual. Así, desarrolla a través del tiempo el lenguaje hablado, que implica procesar símbolos para poder comunicarse con sus semejantes.

Muy temprano, el hombre empieza a utilizar distintos medios para registrar símbolos como pueden ser: los dedos, marcas en la madera y cuerdas, piedras, etc., con ello representaba conjuntos numéricos que le fueron necesarios para poder contar.

Los babilónicos

Los babilónicos de la antigua Mesopotamia utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes que el papiro empleado por los egipcios al paso del tiempo, por lo que hay disponible mucha más información sobre ellos. De las más de 100.000 tablillas conservadas, unas 250 tienen contenidos matemáticos. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas tienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar. Los babilónicos:

• Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.
• Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. 
• Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división.
• Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.
• Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas (ecuación algebraica con una o más incógnitas y coeficientes enteros, de la que interesan únicamente sus soluciones enteras), algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, etc.

Los romanos

Poco o casi nada aportaron los romanos a las matemáticas. El sistema de números creado por los romanos tuvo el mérito de representar del 1 al 1.000.000 utilizando nada más que 7 símbolos que son los siguientes: I: 1 - V: 5 - X: 10 - L: 50 - C: 100 - D: 500 - M: 1.000. Este sistema se lee de izquierda a derecha, o sea, las letras de mayor valor se escriben a la izquierda.

Los valores de las letras suelen sumarse para saber cual es su valor equivalente al sistema decimal, pero cuando una letra se coloca a la izquierda esta resta el valor de la letra izquierda, por ejemplo: para escribir el nueve se debe escribir el valor que representa al 10 y luego restarle 1 por lo tanto el número 9 en romano se representa IX; si escribimos una raya horizontal sobre un símbolo lo estamos multiplicando por mil, con esto se podría utilizar infinitas rayas para construir todos los números desde el 1 al infinito, el problema de esta anotación es que no puede realizar cálculos con rapidez.

Los egipcios

El conocimiento que existe sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basa principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.

Los egipcios 500 años a.C. inventaron un sistema de bolitas atravesadas por un alambre y con esto realizaban los cálculos matemáticos. Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1.000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones.

Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo, el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

Los chinos

El ábaco surge como consecuencia del desarrollo que le dieron los chinos en el siglo II d.C., cuando le colocaron un soporte tipo bandeja de madera y lo denominaron Saun-pan, para luego conocerse con el nombre de ábaco (del griego ABAX que significa tabla o carpeta cubierta de polvo) el cual suma, resta, multiplica y divide.

La civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, aunque los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos. El sistema de numeración es el decimal jeroglífico y las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

La orientación algorítmica de las matemáticas en la China antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV, debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales. El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente se denomina "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.

LOS MAYAS Y LOS INCAS

Los mayas para representar sus números usaban un doble procedimiento, combinaban barras y puntos propios de un sistema vigesimal, o sea, con base en el número 20. El otro sistema figuraban cabezas humanas, la cuales comprendía las cifras del 1 al 13. En los dos sistemas existía el cero. Hacia el siglo I, los mayas usaban pequeños óvalos con un arco escrito como símbolo que representaba el cero

El quipo y la yupana, dos utensilios, el primero orientado al almacenamiento y al transporte de la información, y el segundo para ayudar en el proceso de cálculo, se pueden considerar los antecesores históricos de los ordenadores en el Imperio Inca. El Quipo (conjunto de cordones con nudos) fue un excelente utensilio para anotar y transportar la información cuantitativa y cualitativa de las magnitudes y conceptos que interesaban en el Imperio Inca. Pero era un utensilio lento en el cálculo. La Yupana hizo el papel de calculador manual. Era una especie de Ábaco adaptado al Quipo.

 Los hindúes

Los primeros indicios matemáticos en India, se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y, también, parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. En el siglo I d.C los hindúes fueron los primeros en desarrollar el sistema decimal, los números 1, 4 y 6 se escribían de forma casi parecida al actual. Los hindúes representaban el cero con un círculo o un punto, pero ese último cayo rápidamente en desuso. Los matemáticos hindúes escribían los números en columnas y usaban el cero para decir que había una columna vacía. (Cero en hindú es śŭnya que significa hueco o vacío y cero en árabe es sifer, de donde derivo las palabras cifra y cero). La numeración hindú se introdujo en el mundo árabe entre el siglo VII y VIII d.C. Las primeras notaciones que se conocen en Europa datan del año 976.

La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (siglo .XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt.

Los griegos

La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único, cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama Matemáticas. Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística".

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así, por ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de las operaciones con números naturales.

En esta época ya resultaban conocidos los métodos de suma de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2

LOS ARABES

Los matemáticos árabes fueron de los primeros que desarrollaron técnicas de cálculo escrito. El matemático árabe Al'Khwarizmi, alrededor del año 830 d.C, escribe un libro de Aritmética, traducido al latín como Algoritmi de número Indorum, donde introduce el sistema numérico indio (sólo conocido por los árabes unos 50 años antes) y los métodos para calcular con él. De esta versión latina proviene la palabra algoritmo.

La anotación del sistema arábigo era posicional esto significa que los símbolos tenían distinto su valor según su ubicación y además debía incluir el cero para que pueda funcionar. El número cero permite diferenciar 11, 101, 1.001 si tener que utilizar simbología extra para tal fin, además posibilitaba construir números grandes y pequeños, solamente combinando los 10 símbolos del sistema.

En el siglo VII se enuncian los procedimientos de cálculo para el sistema decimal que fueron ampliadas las mismas, explicando los procedimientos de resolución de las operaciones básicas que hoy usamos. Entre el siglo XII y el siglo XV, se introduce lentamente en Europa el sistema de números Arábigos para poder calcular las transacciones comerciales de esa época, siendo el usado en la actualidad. Además separan la parte entera del decimal con una coma.